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Title: Um estudo rigoroso da equação do calor e da onda
Other Titles: A rigorous study of the heat and wave equations
Authors: Ferreira, Rafael Xavier Deiga
Keywords: análise de Fourier;Fourier analysis;equação do calor;heat equation;equação da onda;wave equation;problema de Dirichlet;Dirichlet problem
Issue Date: 3-Dec-2019
Publisher: Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Citation: FERREIRA, Rafael Xavier Deiga. Um estudo rigoroso da Equação do Calor e da Onda. 2019. 69f. Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Física) - Departamento de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2019.
Portuguese Abstract: A partir de alguns resultados básicos da Análise Matemática e Espaços Métricos, este trabalho irá construir a teoria mı́nima da Análise de Fourier para resolver problemas en- volvendo a Equação do Calor e da Onda com rigor matemático. Infelizmente, a Análise de Fourier não será tratada na sua forma mais geral, que necessita de tópicos mais avançados, como a integral de Lebesgue. Depois do mı́nimo teórico da Análise de Fourier ser estabelecido, abordaremos a Equação do Calor e da Onda unidimensional. Depois, trataremos o problema de Di- richlet, que consiste em resolver a Equação de Calor no estado estacionário num disco com temperatura conhecida na borda. Infelizmente, não acharemos as condições mais gerais para resolver esses problemas. Encontraremos apenas condições suficientes para garantir a existência e unicidade das soluções. A principal motivação para esse estudo é que geralmente, nos cursos de Bacharelado em Fı́sica, apenas se acham as soluções para esses tipos de problemas usando o método de separação de variáveis, desconsiderando a devida justificativa do porquê essas soluções satisfazerem todas as condições para realmente serem soluções. Isso é insuficiente do ponto de vista de pesquisa em Fı́sica Matemática.
Abstract: From some basic results of mathematical analysis and metric spaces, this text will build the minimum theory of Fourier analysis to solve problems dealing with the heat equation and wave equation with mathematical rigor. Unfortunately, the Fourier analysis will not be dealt with full generality, since this would need more advanced topics, such as Lebesgue integral. After the minimum theory of Fourier analysis has been established, we will address the heat equation and wave equation in one dimension. After that, we will deal with the Dirichlet problem, which consists in solving the steady-state heat equation in a disc. Unfornately, we will not find the most general contitions to solve those problems. We just will find sufficient conditions for ensure the existence and unicity of the solutions. The main motivation for this study is that usually, in the Physics Major, we just find the solutions for these kind of problems using the separation of variables, disregarding the proper justification of why these solutions satisfy all the conditions for really be the solutions. This is insufficient from the point of view of research in Mathematical Physics.
URI: http://monografias.ufrn.br/handle/123456789/10186
Other Identifiers: 2016030256
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